Vous pouvez le faire en réglant la position du signe d'insertion à la fin de la zone de texte, par exemple,
myTextArea.setCaretPosition(myTextArea.getDocument().getLength());
Editar: vous pouvez trouver beaucoup plus d'informations sur cette question en consultant les questions connexes énumérées en bas à droite de cette page. En particulier, veuillez consulter la réponse et le lien de camickr dans ce fil de discussion : Comment définir l'AUTO-SCROLLING de JTextArea dans Java GUI ? . C'est une réponse bien meilleure et plus complète que celle que j'ai donnée (et je viens juste de la voter en haut pour cela).