Laissez-moi développer un peu ce qu'ils disent avec mon interprétation :
Avec notre bibliothèque mobile, nous assumons la charge de la conformité PCI en éliminant la nécessité d'envoyer les données des cartes directement à votre serveur. Au lieu de cela, nos bibliothèques envoient les données des cartes directement à nos serveurs, où nous pouvons les convertir en jetons.
Cela signifie que l'on reçoit souvent un numéro de carte de crédit et que l'on est censé le stocker pour une utilisation ultérieure (par exemple, le client l'entre dans votre page de compte pour qu'il puisse être facturé chaque mois), mais cela vous oblige légalement à vous conformer aux normes PCI, ce qui peut être un casse-tête. Stripe vous libère de ce fardeau : il stocke la carte de crédit et, si vous souhaitez la débiter ultérieurement, il vous suffit de lui donner le jeton qu'il a généré et qui représente cette carte de crédit.
Votre application recevra le jeton en retour et pourra ensuite l'envoyer à un point de terminaison sur votre serveur, où il pourra être utilisé pour traiter un paiement, établir une facturation récurrente ou simplement être enregistré pour une utilisation ultérieure.
Ceci est expliqué dans une autre section, https://stripe.com/docs/mobile/Android#using-tokens
L'utilisation du jeton de paiement, quelle que soit la manière dont il a été obtenu, nécessite un appel API depuis votre serveur à l'aide de votre clé API secrète. (Pour des raisons de sécurité, vous ne devez jamais intégrer votre clé API secrète dans votre application).
(Ceci a été mentionné par drhr.)
Étant donné que vous avez besoin de la clé secrète pour effectuer l'appel API, celui-ci devra être effectué à partir de votre propre serveur, et vous aurez donc besoin d'un serveur.
Remarque : je n'ai pas utilisé Stripe, à ma connaissance, et j'essaie simplement de partager ma lecture de la documentation.
P.S. Je pense que votre deuxième question est distincte, mais certaines options populaires et faciles pour héberger une application web Java sont Heroku et AppEngine. Pour quelque chose comme ça, cependant, vous pourriez opter pour une approche sans serveur, par exemple en utilisant AWS Lambda. https://aws.amazon.com/lambda (google a un équivalent en stade Alpha https://cloud.google.com/functions/ )