Est-ce que log(n !) = (n-log(n)) ?

Question

Je dois montrer que log( n !) = ( n -log( n )) .

On m'a suggéré de montrer la limite supérieure avec n n et montrer la borne inférieure avec ( n /2) ( n /2) . Cela ne me semble pas si intuitif que cela. Pourquoi serait-ce le cas ? Je vois très bien comment convertir n n a n -log( n ) (c'est-à-dire loger les deux côtés d'une équation), mais c'est un peu travailler à l'envers.

Quelle serait l'approche correcte pour aborder ce problème ? Devrais-je dessiner l'arbre de récursion ? Il n'y a rien de récursif à ce sujet, donc cela ne semble pas être une approche probable

Answer 1

Rappelez-vous que

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

Vous pouvez obtenir la limite supérieure en

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

Et vous pouvez obtenir la limite inférieure en faisant une chose similaire après avoir jeté la première moitié de la somme :

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2)

Answer 2

Je me rends compte qu'il s'agit d'une question très ancienne avec une réponse acceptée, mais aucune de ces réponses n'utilise réellement l'approche suggérée par l'indice.

C'est un argument assez simple :

n! (= 1*2*3*...*n) est un produit de n nombres dont chacun est inférieur ou égal à n . Il est donc inférieur au produit de n les nombres sont tous égaux à n ; c'est-à-dire, n^n .

La moitié des chiffres -- c'est-à-dire n/2 d'entre eux -- dans le n! sont supérieurs ou égaux à n/2 . Par conséquent, leur produit est supérieur au produit de n/2 tous les numéros sont égaux à n/2 ; c'est-à-dire (n/2)^(n/2) .

Prenez des registres tout au long du processus pour établir le résultat.

Answer 3

Ver L'approximation de Stirling :

ln(n !) = n*ln(n) - n + O(ln(n))

où les deux derniers termes sont moins significatifs que le premier.

Answer 4

Vous aider à aller plus loin, là où Mick Sharpe vous a laissé :

Sa dérivation est très simple : voir http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm -> Théorie des groupes

log(n !) = log(n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1) = log(n) + log(n-1) + ... + log(2) + log(1)

Pensez à n comme infiniment grand . Qu'est-ce que l'infini moins un ? ou moins deux ? etc.

log(inf) + log(inf) + log(inf) + ... = inf * log(inf)

Et puis pensez à inf comme n.

Answer 5

Cela pourrait aider :

eln(x) = x

y

(lm)n = lm\*n