La chaîne de Lyon m'a donné un très bon conseil : sous Windows, il faut utiliser des slahs et non des backslashes. Ce code fonctionne pour moi :
File tempFile = File.createTempFile(tableName, ".csv");
FileUtils.copyInputStreamToFile(data, tempFile);
JdbcTemplate template = new JdbcTemplate(dataSource);
String path = tempFile.getAbsolutePath().replace('\\', '/');
int rows = template.update(MessageFormat
.format("LOAD DATA LOCAL INFILE ''{0}'' INTO TABLE {1} FIELDS TERMINATED BY '',''",
path, tableName));
logger.info("imported {} rows into {}", rows, tableName);
tempFile.delete();