Celui dont vous parlez est probablement intégré à l'application Android Market. Je suppose donc qu'il n'y a aucun moyen de le réutiliser facilement, mais que vous devez plutôt en créer un similaire vous-même. Pour ce faire, vous pouvez consulter les articles suivants de SO :
Selon le type de fichiers que vous utilisez, j'ai constaté que le moyen le plus simple de télécharger des fichiers à partir d'un serveur distant est de lancer une intention du type
Intent downloadIntent = new Intent(Intent.ACTION_VIEW, Uri.parse(pathToFile));
Si le "pathToFile" est une adresse HTTP vers un document pdf par exemple, le navigateur commencera automatiquement un téléchargement qui s'affichera dans la barre de notification et une fois terminé, l'utilisateur pourra cliquer dessus et (si une application correspondante est installée) le fichier sera ouvert.
Si vous devez traiter les fichiers téléchargés à partir de votre application, il est probablement préférable de gérer le téléchargement par vous-même, en ouvrant une connexion HTTP, etc.