Haskell : En quoi joindre est une transformation naturelle ?

Question

Je peux définir une transformation naturelle en Haskell comme :

h :: [a] -> Maybe a
h []    = Nothing
h (x:_) = Just x

et avec une fonction k :

k :: Char -> Int
k = ord

la condition de naturalité est remplie en raison du fait que :

h . fmap k == fmap k . h

Est-ce que la condition de naturalité de la monade de la liste join peut être démontrée de manière similaire ? J'ai du mal à comprendre comment join dire concat en particulier, est une transformation naturelle.

Answer 1

Ok, regardons concat .

Tout d'abord, voici l'implémentation :

concat :: [[a]] -> [a]
concat = foldr (++) []

Cela correspond à la structure de votre h donde Maybe est remplacé par [] et, de manière plus significative, [] est remplacé par - pour abuser de la syntaxe pendant un moment - [[]] .

[[]] est aussi un foncteur, bien sûr, mais c'est pas a Functor instance de la manière dont la condition de naturalité l'utilise. Traduire directement votre exemple ne fonctionnera pas :

concat . fmap k =/= fmap k . concat

...parce que les deux fmap ne travaillent que sur la partie la plus extérieure [] .

Et bien que [[]] est hypothétiquement une instance valide de Functor vous ne pouvez pas en faire une directement, pour des raisons pratiques qui sont probablement évidentes.

Cependant, vous pouvez reconstruire la levée correcte de la manière suivante :

concat . (fmap . fmap) k == fmap k . concat

...où fmap . fmap est équivalent à l'implémentation de fmap pour un hypothétique Functor instance pour [[]] .

Comme un addendum connexe, return est gênant pour la raison inverse : a -> f a est une transformation naturelle d'un foncteur d'identité élidé. En utilisant : [] l'identité s'écrirait comme suit :

(:[]) . ($) k == fmap k . (:[])

...où le complètement superflu ($) remplace ce qui serait fmap sur le foncteur d'identité élidé.