Comment calculer la dérivée en utilisant Numpy?

Question

Comment calculer la dérivée d'une fonction, par exemple

y = x2+1

en utilisant numpy ?

Disons que je veux la valeur de la dérivée en x = 5...

Answer 1

Vous avez quatre options

1. Différences Finies
2. Dérivées Automatiques
3. Différenciation Symbolique
4. Calculer les dérivées à la main.

Les différences finies ne nécessitent pas d'outils externes mais sont sujettes aux erreurs numériques et, si vous êtes dans une situation multivariée, cela peut prendre du temps.

La différenciation symbolique est idéale si votre problème est assez simple. Les méthodes symboliques sont assez robustes de nos jours. SymPy est un excellent projet pour cela qui s'intègre bien avec NumPy. Consultez les fonctions autowrap ou lambdify ou consultez l'article de blog de Jensen sur une question similaire.

Les dérivées automatiques sont très intéressantes, ne sont pas sujettes aux erreurs numériques, mais nécessitent des bibliothèques supplémentaires (recherchez sur Google à ce sujet, il existe quelques bonnes options). C'est le choix le plus robuste mais aussi le plus sophistiqué/difficile à mettre en place. Si vous êtes à l'aise avec la syntaxe de numpy, alors Theano pourrait être un bon choix.

Voici un exemple utilisant SymPy

In [1]: from sympy import *
In [2]: import numpy as np
In [3]: x = Symbol('x')
In [4]: y = x**2 + 1
In [5]: yprime = y.diff(x)
In [6]: yprime
Out[6]: 2⋅x

In [7]: f = lambdify(x, yprime, 'numpy')
In [8]: f(np.ones(5))
Out[8]: [ 2.  2.  2.  2.  2.]

Answer 2

La manière la plus simple que je connaisse consiste à utiliser la fonction gradient de numpy :

x = numpy.linspace(0,10,1000)
dx = x[1]-x[0]
y = x**2 + 1
dydx = numpy.gradient(y, dx)

Ainsi, dydx sera calculé en utilisant des différences centrées et aura la même longueur que y, contrairement à numpy.diff, qui utilise des différences en avant et renverra un vecteur de taille (n-1).

Answer 3

NumPy ne fournit pas de fonctionnalité générale pour calculer des dérivées. Il peut cependant gérer le cas particulier simple des polynômes :

>>> p = numpy.poly1d([1, 0, 1])
>>> print p
   2
1 x + 1
>>> q = p.deriv()
>>> print q
2 x
>>> q(5)
10

Si vous souhaitez calculer la dérivée numériquement, vous pouvez utiliser des quotients de différences centrales pour la grande majorité des applications. Pour la dérivée en un seul point, la formule serait quelque chose comme

x = 5.0
eps = numpy.sqrt(numpy.finfo(float).eps) * (1.0 + x)
print (p(x + eps) - p(x - eps)) / (2.0 * eps * x)

si vous avez un tableau x d'abscisses avec un tableau correspondant y de valeurs de fonction, vous pouvez calculer des approximations de dérivées avec

numpy.diff(y) / numpy.diff(x)

Answer 4

En supposant que vous voulez utiliser numpy, vous pouvez calculer numériquement la dérivée d'une fonction en n'importe quel point en utilisant la définition rigoureuse:

def d_fun(x):
    h = 1e-5 #en théorie h est infinitésimal
    return (fun(x+h)-fun(x))/h

Vous pouvez également utiliser la dérivée symétrique pour de meilleurs résultats:

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

En utilisant votre exemple, le code complet devrait ressembler à ceci:

def fun(x):
    return x**2 + 1

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

Maintenant, vous pouvez trouver numériquement la dérivée en x=5:

In [1]: d_fun(5)
Out[1]: 9.999999999621423

Answer 5

Je vais ajouter une autre méthode à la pile...

La plupart des splines interpolantes de scipy.interpolate sont capables de fournir des dérivées. Ainsi, en utilisant une spline linéaire (k=1), la dérivée de la spline (en utilisant la méthode derivative()) devrait être équivalente à une différence avant. Je ne suis pas totalement sûr, mais je crois qu'utiliser une dérivée de spline cubique serait similaire à une dérivée de différence centrée car elle utilise des valeurs avant et après pour construire la spline cubique.

from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline

# Obtenez une fonction qui évalue la spline linéaire à n'importe quel x
f = InterpolatedUnivariateSpline(x, y, k=1)

# Obtenez une fonction qui évalue la dérivée de la spline linéaire à n'importe quel x
dfdx = f.derivative()

# Évaluez la dérivée dydx à chaque emplacement x...
dydx = dfdx(x)