Comment calculer la dérivée en utilisant Numpy ?

Question

Comment calculer la dérivée d'une fonction, par exemple

y = x2+1

en utilisant numpy ?

Disons, je veux la valeur de la dérivée à x = 5...

Answer 1

Vous avez quatre options

1. Différences finies
2. Dérivées automatiques
3. Différenciation symbolique
4. Calculer les dérivées à la main.

Les différences finies ne nécessitent aucun outil externe mais sont sujettes aux erreurs numériques et, si vous vous trouvez dans une situation multivariée, cela peut prendre du temps.

La différenciation symbolique est idéale si votre problème est assez simple. Les méthodes symboliques sont de plus en plus robustes de nos jours. SymPy est un excellent projet qui s'intègre bien avec NumPy. Regardez les fonctions autowrap ou lambdify ou consultez l'article de blog de Jensen sur une question similaire.

Les dérivées automatiques sont très efficaces, ne sont pas sujettes aux erreurs numériques, mais nécessitent des bibliothèques supplémentaires (cherchez sur Google, il y a quelques bonnes options). C'est le choix le plus robuste mais aussi le plus sophistiqué/difficile à configurer. Si vous vous limitez à la syntaxe de numpy, alors Theano pourrait être un bon choix.

Voici un exemple utilisant SymPy

In [1]: from sympy import *
In [2]: import numpy as np
In [3]: x = Symbol('x')
In [4]: y = x**2 + 1
In [5]: yprime = y.diff(x)
In [6]: yprime
Out[6]: 2⋅x

In [7]: f = lambdify(x, yprime, 'numpy')
In [8]: f(np.ones(5))
Out[8]: [ 2.  2.  2.  2.  2.]

Answer 2

La manière la plus simple à laquelle je peux penser est d'utiliser la fonction de gradient de numpy:

x = numpy.linspace(0,10,1000)
dx = x[1]-x[0]
y = x**2 + 1
dydx = numpy.gradient(y, dx)

De cette manière, dydx sera calculé en utilisant des différences centrales et aura la même longueur que y, contrairement à numpy.diff, qui utilise des différences en avant et retournera un vecteur de taille (n-1).

Answer 3

NumPy ne fournit pas de fonctionnalité générale pour calculer des dérivées. Il peut cependant gérer le cas spécial simple des polynômes :

>>> p = numpy.poly1d([1, 0, 1])
>>> print p
   2
1 x + 1
>>> q = p.deriv()
>>> print q
2 x
>>> q(5)
10

Si vous voulez calculer la dérivée numériquement, vous pouvez utiliser des quotients de différence centrale pour la grande majorité des applications. Pour la dérivée en un seul point, la formule serait quelque chose comme

x = 5.0
eps = numpy.sqrt(numpy.finfo(float).eps) * (1.0 + x)
print (p(x + eps) - p(x - eps)) / (2.0 * eps * x)

si vous avez un tableau x des abscisses avec un tableau correspondant y des valeurs de la fonction, vous pouvez calculer des approximations des dérivées avec

numpy.diff(y) / numpy.diff(x)

Answer 4

En supposant que vous souhaitez utiliser numpy, vous pouvez calculer numériquement la dérivée d'une fonction en n'importe quel point en utilisant la définition rigoureuse:

def d_fun(x):
    h = 1e-5 #en théorie h est infinitésimal
    return (fun(x+h)-fun(x))/h

Vous pouvez également utiliser la dérivée symétrique pour de meilleurs résultats:

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

En utilisant votre exemple, le code complet devrait ressembler à ceci:

def fun(x):
    return x**2 + 1

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

Maintenant, vous pouvez trouver la dérivée numériquement à x=5:

In [1]: d_fun(5)
Out[1]: 9.999999999621423

Answer 5

Je vais ajouter une autre méthode à la pile...

Les nombreux splines interpolants de scipy.interpolate sont capables de fournir des dérivées. Ainsi, en utilisant un spline linéaire (k=1), la dérivée du spline (en utilisant la méthode derivative()) devrait être équivalente à une différence avant. Je ne suis pas entièrement sûr, mais je crois qu'utiliser une dérivée de spline cubique serait similaire à une dérivée de différence centrée car elle utilise des valeurs d'avant et d'après pour construire le spline cubique.

from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline

# Obtenir une fonction qui évalue le spline linéaire à n'importe quel x
f = InterpolatedUnivariateSpline(x, y, k=1)

# Obtenir une fonction qui évalue la dérivée du spline linéaire à n'importe quel x
dfdx = f.derivative()

# Évaluer la dérivée dydx à chaque emplacement x...
dydx = dfdx(x)